Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Tahminini sınayalım. 28 kişiyi eşit gruplara ayırmak, 28'i iki sayının çarpımı olarak yazmak demektir. Örneğin 2 kişilik 14 grup kurarsan $2 \times 14 = 28$ olur.

Aşağıda 1'den 28'e kadar sayılar var. Her sayıyı bir gruptaki kişi sayısı gibi düşün. 28'i kalansız bölen bütün sayıları bul.

Bir sayıya dokun. O sayı 28'i kalansız bölüyorsa işaretlenir ve eşi de işaretlenir. Örneğin 2'ye dokunursan 14 de işaretlenir. 1 ve 28 de 28'i kalansız böler, onları da bul.

Bitirince "Hepsi bu kadar" düğmesine bas.

Dünkü 29 kişiye dönelim. Öğretmen 2'yi, 3'ü, 4'ü ve 5'i denemişti. Belki başka bir sayı işe yarar.

Aşağıda 1'den 29'a kadar sayılar var. 29'u kalansız bölen bütün sayıları bul. Bitirince "Hepsi bu kadar" düğmesine bas.

29'u kalansız bölen yalnız iki sayı var: 1 ve 29. Yani 29 kişi ya hep birlikte tek grup olur ya da herkes tek başına kalır. İkisi de yarışta grup sayılmaz.

1'den büyük olup yalnız 1'e ve kendisine bölünen sayılara asal sayı denir. Asal sayının tam iki çarpanı vardır. 29 asaldır. 28 ise asal değildir, çünkü 2, 4, 7 ve 14 de 28'i böler.

2, 3, 5, 7, 11 ve 13 de asal sayılardır.

Asal sayılar uzaya gönderilen bir mesajda bile kullanıldı. 1974'te bilim insanları uzaya 1.679 noktalık bir resim gönderdi. 1.679'u asal sayılar yüzünden seçtiler. Nedenini konunun sonunda göreceksin ve bir benzerini kendin çözeceksin.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu asal sayılara sırayla bölersin: 2, 3, 5, 7 ve devamı. Bölünebilme kuralları işini kısaltır.

37'yi dene. 37 tek olduğu için 2'ye bölünmez. Rakamlarının toplamı 10 olduğu için 3'e bölünmez. Son rakamı 7 olduğu için 5'e de bölünmez.

37'yi 7'ye bölersen bölüm 5 olur ve 2 artar. Bölüm, böldüğün sayıdan küçük kaldı. Bu olunca durursun: 37 asaldır.

Asal sayıları tek tek sınamak yerine hepsini birden bulmanın bir yolu var. Bu yola, 2.200 yıldan uzun süre önce yaşamış bilgin Eratosthenes'in adıyla Eratosthenes kalburu denir. Kalbur, iri taneleri tutan bir çeşit elektir.

Aşağıdaki tabloda önce 1 silindi, çünkü 1 asal değildir. Sonra 2 bırakıldı ve 2'nin öteki katları silindi. 3, 5 ve 7 için de aynısı yapıldı.

Silinmeden kalan sayılar asaldır. Tabloya bak ve 11'i bul.

24'ü iki sayıya ayırmaya, sonra onları da ayırmaya devam edersen en sonda hangi sayılar kalır? Bunu bir ağaçla bulursun.

Aşağıda 24 var. 24'e dokun ve onu hangi iki sayının çarpımı olarak yazacağını seç. Sonra alttaki her sayıya dokun. Ayrılabilen sayıyı yine ayır.

Asal bir sayıya dokunursan ağacın o ucu biter.

Ağacın uçlarında kalan asallar, o sayının asal çarpanlarıdır.

Sınıf arkadaşların Deniz ve Umut 72'yi ayırıyor. Deniz $8 \times 9$ ile başladı. Umut ise $2 \times 36$ ile başladı. Sonunda ikisi aynı asalları mı bulur?

Önce Deniz'in yolunu dene. 72'ye dokun ve $8 \times 9$'u seç. Ağaç bitince "Başka yoldan dene" düğmesine bas ve bu kez $2 \times 36$ ile başla. Sonra "Bulduğun yollar" altındaki iki satırı karşılaştır.

Deniz ile Umut aynı asalları buldu.

Ağaç çizmeden de ayırabilirsin. Sayıyı bir asal sayıya böl. Bölüm alt satıra yazılır. Sonra bölümü de böl.

En altta 1 kalınca dur.

Aşağıda 60 var. En küçük asaldan başla ve böleni alttaki düğmelerden seç. Kalansız bölmeyen bir sayı seçersen kaç tane arttığını görürsün.

Algoritmayla $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ buldun. 60 aynı zamanda bir saatteki dakika sayısıdır.

Bir saati eşit parçalara bölmek istiyorsun. Her parçada aynı sayıda dakika olsun ve hiç dakika artmasın. Örneğin 2 parçaya bölersen her parça 30 dakika olur.

60'ın asal çarpanlarına bak ve karar ver.

60'ın asal çarpanlarında 3 vardı. Bu yüzden bir saat 3 eşit parçaya bölünür ve her parça 20 dakika olur. Peki asal çarpanlarında 3 olmayan bir sayı olsaydı?

Fransız Devrimi'nden sonra, 1790'larda Fransa'da bir süre gün 10 saate, her saat de 100 dakikaya bölündü. 100'ün asal çarpanlarını düşün.

2026 Dünya Kupası'nda 48 takım vardı. Eleme turlarında takımlar ikişer eşleşir ve kazanan bir üst tura çıkar. Böylece her turda takım sayısı yarıya iner.

48 takımla hemen eleme yapılsaydı ne olurdu? Aşağıda 48'i algoritmayla ayır. Soldaki sütundaki sayılar, her turdaki takım sayısını gösterir.

Önce 2'yi seçmeye devam et. 2 artık bölmediğinde ne olduğuna bak.

Okulun 50 kişilik korosu sahneye eşit sıralarla çıkacak. Umut, kaç kişilik sıralar olabileceğini asal çarpanlardan bulmak istedi.

50'nin çarpanları 1, 2, 5, 10, 25 ve 50'dir. Umut bunlardan asal olanları seçti: 2 ve 5. Sonra defterine $50 = 2 \times 5$ yazdı.

Beden dersine dönelim. 29 asal bir sayıdır. Bu yüzden 29 kişi, 1 kişilik gruplar ve tek büyük grup dışında eşit gruplara ayrılmaz.

Öğretmen bunu bilseydi boşuna uğraşmazdı. Bir kişiyi hakem yapardı ve 28 kişi kalırdı.

İlk gün 28'i tek tek deneyerek gruplamıştın. Şimdi $28 = 2 \times 2 \times 7$'ye bakman yeter.

2'yi ve 7'yi seçersin. 2 ile 2'yi çarparsan 4 bulursun. 2 ile 7'yi çarparsan 14 bulursun.

Yani 28 kişi 2'li, 4'lü, 7'li ve 14'lü gruplara ayrılır. Ertesi gün öğretmen 4'erli 7 grup kurdu ve yarış hemen başladı.

Artık bir sayının asal çarpanlarına bakarak o sayının hangi gruplara ayrılacağını deneme yapmadan bulabilirsin.

1974'te Porto Riko'daki Arecibo teleskobundan uzaya 1.679 noktalık bir resim gönderildi. Mesajı hazırlayan ekibin başındaki Frank Drake bu sayıyı bilerek seçti.

$23 \times 73$ işleminin sonucu 1.679'dur ve 23 ile 73 asal sayılardır. Bu yüzden noktalar yalnız iki biçimde dikdörtgen olur: her satırda 23 nokta ya da her satırda 73 nokta. Mesajı alan biri 1.679'u asal çarpanlarına ayırırsa noktaları nasıl dizeceğini bulur. Aşağıda her satırda 23 nokta olunca çıkan resim var.

Mesaj 20.000 yıldan uzun bir yolculuktan sonra çok uzaktaki bir yıldız kümesine varacak.

Şimdi sıra sende. Aşağıda bizim hazırladığımız 391 noktalık bir mesaj var.

391'i kâğıtta 2'den başlayarak asallara sırayla böl. Kalansız bölen asalı bul ve onu bir satırdaki nokta sayısı yap. Resim çıkmazsa bulduğun öteki asalı dene.