Çarpanlar ve Katlar

Aşağıdaki resme bak. Fırının üç yuvası var.

Üst yuvaya ham demiri koyarsın. Buraya en çok 64 ham demir sığar.

Alt yuvaya yakıtı koyarsın. Buraya birden çok yakıt koyabilirsin. Fırın gerektikçe birini alır ve yakar.

Sağdaki çıkış yuvasında eriyen demirler külçe olarak birikir.

Her yakıt belli sayıda demir eritir. Hangi yakıtın kaç demir erittiği resimde, yakıtın altında yazıyor. Su yosunu bloğunun oyundaki tam adı "Kurutulmuş Su Yosunu Bloğu"dur.

Bir de kural var: Bir yakıt yanmaya başlayınca sonuna kadar yanar. Eritecek demir kalmasa da yanmayı sürdürür. Demir kalmadan yanan ateş boşa gider.

Tahminini oyundaki fırına koymadan önce bu sayfadaki deneme fırınında dene. Bu fırında yaktığın yakıt ve erittiğin demir çantandan eksilmez.

Bir yakıta dokun, sonra "Fırını yak" düğmesine bas. Kaç tane yakıt yanacağına fırın kendisi karar verir.

Fırın söndükten sonra altında yanan yakıtları görürsün. Her kutunun içinde o yakıtın kaç demir erittiği yazar. Turuncu kesikli kısım, boşa yanan ateştir.

"8 demirlik ateş boşa gitti" demek şudur: O ateş 8 demir daha eritebilirdi, ama fırında demir kalmamıştı.

Dört yakıtı da dene. Hangisinde hiç ateş boşa gitmedi?

Aşağıdaki resim dört denemeyi alt alta gösteriyor.

Bir lav kovası 100 demir eritebilir. Senin ise 64 demirin vardı. Bu yüzden ateşin 36 demirlik kısmı boşa yandı.

En güçlü yakıt, en çok ateşi boşa harcadı.

Resimde öteki yakıtlara da bak. Blaze çubuğunda fırın 6 çubuk yaktı.

6 çubuk 72 demir eritebilir, çünkü $6 \times 12 = 72$. Ama sende 64 demir vardı. Bu yüzden 8 demirlik ateş boşa gitti.

Kömürde ise fırın 8 kömür yaktı ve hiç ateş boşa gitmedi. Oysa kömür en zayıf yakıttı.

Kömürün bir sırrı var. Bu sırrı bulmak için kömürü başka demir sayılarıyla deneyelim.

Bu sayfadaki deneme fırınında şimdi yalnız kömür var. Bu kez demir sayısını sen seçeceksin. Sayıyı − ve + düğmeleriyle ya da kaydırıcıyla değiştirebilirsin.

Fırında şu an 3 demir var. Önce fırını böyle yak. Sonra demir sayısını 8, 12, 16, 20 ve 24 yapıp her birinde yeniden yak.

Her yakışta fırının altındaki tabloya bir satır eklenir. Hangi sayılarda boşa yanan ateş 0 oldu? Bu sayılarda bir düzen görüyor musun?

Boşa yanan ateş 8, 16 ve 24 demirde 0 oldu. 3, 12 ve 20 demirde ise ateş boşa gitti. Denemeyi sürdürürsen ateşin boşa gitmediği sayılar 32, 40, 48 diye gider.

Bu sayıların her biri bir öncekinden 8 fazladır.

Neden böyle oluyor? Çünkü bir kömür 8 demir eritir.

8 demir için 1 kömür yanar. 16 demir için 2 kömür, 24 demir için 3 kömür yanar. Hiçbir kömürün ateşi boşa gitmez.

Bu sayıları bulmak için 8'i sırayla 1 ile, 2 ile, 3 ile, 4 ile … çarparsın. Böyle bulunan sayılara 8'in katları denir.

8'in katlarının en küçüğü 8'in kendisidir, çünkü $8 \times 1 = 8$.

Aşağıdaki resimde her sayının üstünde, o kadar demir için yanan kömürler var.

Şimdi tersini yapalım. Demir sayısı hep 64 olsun, yakıtı değiştirelim.

Minecraft'a yeni bir yakıt eklendiğini düşün. Bu yakıtın bir tanesi kaç demir eritmeli ki 64 demir hiç ateş boşa gitmeden erisin?

Kömürü hatırla. 64 demir için 8 kömür yanar ve hiç ateş boşa gitmez, çünkü $8 \times 8 = 64$. Bunu bölmeyle de anlayabilirsin: $64 \div 8 = 8$ ve kalan 0'dır. Kalan 0 olunca "8, 64'ü kalansız böler" deriz.

Aşağıda 1'den 64'e kadar sayılar var. Her sayıyı bir yakıt gibi düşün. Örneğin 5, bir tanesi 5 demir eriten yakıttır. 64'ü kalansız bölen bütün sayıları bul.

Bir sayıya dokun. Sayı 64'ü kalansız bölüyorsa işaretlenir. Onunla çarpılınca 64 eden sayı da kendiliğinden işaretlenir. Örneğin 2'ye dokunursan 32 de işaretlenir, çünkü $2 \times 32 = 64$.

Hepsini bulduğunu düşünüyorsan "Hepsi bu kadar" düğmesine bas.

Bulduğun yedi sayıya 64'ün çarpanları denir: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64.

Neden bu ad verilmiş? Çünkü her biri, listedeki bir sayıyla çarpılınca 64 eder:

$1 \times 64 = 64$

$2 \times 32 = 64$

$4 \times 16 = 64$

8 ise kendisiyle çarpılınca 64 eder: $8 \times 8 = 64$.

Aşağıdaki resimde her dikdörtgen 64 küçük kareden yapılmış. İki kenardaki kare sayılarını çarparsan 64 çıkar.

Çarpanlara bölen de denir. Neden?

Demirler daha çabuk erisin diye yan yana 4 fırın kurduğunu düşün. Hepsi aynı anda bitsin diye 64 demiri 4 fırına eşit paylaştıracaksın.

$64 \div 4 = 16$ ve kalan 0'dır. Her fırına 16 demir düşer ve hiç demir artmaz. Aşağıdaki resme bak.

4, 64'ü kalansız böler. Bu yüzden 4, 64'ün bir bölenidir. Bir sayının çarpanları ile bölenleri aynı sayılardır.

5 fırın olsaydı $64 \div 5$ işleminde kalan 4 olurdu ve demirler eşit paylaşılamazdı. 5, 64'ün böleni değildir.

Kömür deneyinde 8'in katlarını buldun. 1'den 64'e kadar sayılarda da 64'ün çarpanlarını buldun. İkisinin de arkasında çarpma var.

Şimdi 8 ile 64 arasındaki ilişkiyi düşün.

Aynı çarpma işlemi iki şeyi birden söyler. Aşağıdaki resme bak: $4 \times 16 = 64$.

Üstteki oka bak: 64, hem 4'ün hem de 16'nın katıdır. Çünkü 4 ile 16'yı çarpınca 64 çıkar.

Alttaki oka bak: 4 ve 16, 64'ün çarpanlarıdır. Çünkü ikisi de 64'ü kalansız böler.

Diyelim ki çantanda 44 ham demir var ve kömür kullanacaksın. Bir kömür 8 demir eritir.

$44 \div 8$ işleminin sonucu 5,5'tir.

Artık hangi yakıtı seçeceğini biliyordun. Alt yuvaya kömür koydun ve madene indin. Oyundaki bütün gece o demir damarını kazdın.

Ertesi sabah döndüğünde fırının ateşi sönmüştü. Çıkış yuvasında 64 demir külçesi vardı. Hiç ateş boşa gitmemişti.

Lav kovasını koysaydın 36 demirlik ateş boşa yanacaktı. En güçlü yakıt değil, 64 demire tam yeten yakıt kazandı.

Bu neden işe yaradı? Bir kömür 8 demir eritir ve 64, 8'in katıdır. Bunu şöyle de söyleyebilirsin: 8, 64'ün çarpanıdır.

Damardan çıkardığın yeni demirler için de kaç kömür yanacağını önceden hesaplayabilirsin.

Kömür 64 demire yetiyordu, çünkü 8, 64'ün çarpanıydı. Bir saatlik süre 60 dakikadır. Neden 100 değil?

Bir saati 3 eşit parçaya bölelim: $60 \div 3 = 20$. Her parça 20 dakika olur.

Bir saat 100 dakika olsaydı, $100 \div 3$ işleminde bölüm 33, kalan 1 olurdu. Parçalar tam dakika olmazdı.

Sen de dene: Bir saati 6 eşit parçaya bölersen her parça kaç dakika olur? 60 dakikayı 7 eşit parçaya bölersen ne olur? Takılırsan aşağıdaki ipuçlarını aç.

Fransa 1793'te 100 dakikalık saati denedi. Onların dakikası da saati de bizimkinden uzundu. 1795'te bu düzen zorunlu olmaktan çıkarıldı.

Bir açıklamaya göre 60, çarpanı çok olduğu için seçildi: 60'ın 12 çarpanı var, 100'ün yalnız 9. Bu kesin bilinmiyor.

Çarpanları bilirsen bir şeyi kaç eşit parçaya artmadan bölebileceğini önceden bulursun. Evde dene: 24 kalemi kaç kişiye eşit ve artmadan dağıtabilirsin? 5 kişiye neden artıyor?

Aşağıdaki iki kadranda 3 parçaya bölmeyi karşılaştır.