Ortak Kat ve Ortak Bölen

Her paketle sosis sayısı 10 artar: 10, 20, 30 diye gider. Bunlar 10'un katlarıdır.

Her paketle ekmek sayısı 6 artar: 6, 12, 18 diye gider. Bunlar da 6'nın katlarıdır.

Tablonun üstünde iki düğme var. Önce "10'un katları" düğmesine bas ve 10'un katlarına dokun. Sonra öteki düğmeyle 6'nın katlarını boya.

Hangi sayılar iki renk alıyor?

İki renk alan sayılarda sosis ve ekmek sayısı eşittir. İki sayının da katı olan bu sayılara ortak kat denir.

Boyadığın tabloda iki renk alan ilk sayı 30'du. Yani en az 30 sosisli yaparsınız. Bunun için 3 paket sosis ve 5 paket ekmek alırsınız; hiçbiri artmaz.

Amerika'da sosisler çoğunlukla 10'lu, ekmekler 8'li satılır. 2021'de bir ketçap markası, paketlerdeki sayılar eşit olsun diye internette imza topladı. On binlerce kişi imzaladı.

Sosis üreticilerinin bir derneğine göre ekmekler orada 8'lik tepsilerde pişiyor.

10'un ve 6'nın katlarını 60'tan sonra da yazsaydın 90, 120 ve 150 de ikisinde birden olurdu. Ortak katlar hiç bitmez ve hep 30'ar 30'ar artar. Aşağıdaki sayı doğrusuna bak.

Ekmek paketi değişince ilk ortak kat da değişir. 5'li ekmekle 10'lu sosis 10'da buluşur, çünkü 10, 5'in katıdır. 1 paket sosis ve 2 paket ekmek yeter.

7'li ekmekle ilk ortak kat 70'tir. Bunun için 7 paket sosis ve 10 paket ekmek gerekir. Kimse hiçbir şey artmasın diye 70 sosisli yapmaz. Ya birkaç ekmek artar ya da başka bir paket seçersin.

Şimdi sıra ikram poşetlerinde. Her poşette aynı sayıda meyve suyu ve aynı sayıda kurabiye olacak. Hiçbiri artmayacak. Kaç poşet yapabilirsiniz?

Poşet sayısı 24'ü kalansız bölmeli, yoksa meyve suyu artar. 36'yı da kalansız bölmeli, yoksa kurabiye artar.

Tablonun üstündeki bir düğmeyle 24'ün bölenlerini, öteki düğmeyle 36'nın bölenlerini boya.

Hangi sayılar iki renk alıyor?

İki renk alan sayılar hem 24'ü hem 36'yı kalansız böler. İki sayının da böleni olan bu sayılara ortak bölen denir.

24 ile 36'nın ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu listenin bir sonu var: ortak bölen, küçük sayıdan büyük olamaz.

Poşetler masalara konacak. Ne kadar çok poşet olursa bir poşeti o kadar az kişi paylaşır. En çok poşeti 12 verir. $24 \div 12 = 2$ olduğu için her poşete 2 meyve suyu düşer.

$36 \div 12 = 3$ olduğu için her poşete 3 kurabiye düşer. 1 poşet de olur, ama o zaman ikram poşeti değil, kocaman bir torba olur!

Hazırlık yaparken Umut söylendi: "Ben neden hep pazartesi sınıf sorumlusu oluyorum?"

Diyelim ki her gün bir kişi sorumlu ve liste sırayla gidiyor. Sona gelince yeniden başa dönülüyor. Araya tatil girmiyor.

Okul haftası 5 gündür. Sınıfınızda 25 kişi var. 25, 5'e kalansız bölündüğü için liste tam 5 haftada biter.

Liste hep cuma günü biter. Bu yüzden listenin ilk öğrencisi yine pazartesi sorumlu olur.

Bu sınıfta herkes hep aynı gün sorumludur!

24 kişilik bir sınıfta liste 5. haftanın perşembesinde biter. Ertesi gün sıra yeniden ilk öğrenciye gelir; bu kez gün cumadır.

Böylece herkesin sırası haftanın her gününe denk gelir.

Fark nerede? 25 ile 5'in 1'den başka bir ortak böleni var, o da 5'tir. Oysa 24 ile 5'in ortak böleni yalnız 1'dir. Ortak böleni yalnız 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir.

İki sayının ortak katına mı, ortak bölenine mi bakacaksın? Bunu, ne yaptığına bakarak anlarsın.

Sınıfı süslemek için iki kurdele var: biri 24 cm, öteki 40 cm. İkisini de hiç artmadan, hepsi aynı uzunlukta parçalara keseceksin. Bir parça kaç cm olabilir?

Kutlama günü geldi. Umut'un aldığı 1 paket sosis ve 1 paket ekmek evde duruyordu. Bu kez markete hazırlıklı gittiniz.

2 paket sosis ve 4 paket ekmek daha aldınız. Elinizde 3 paket sosis ve 5 paket ekmek oldu. Böylece 30 sosis ve 30 ekmek oldu. Hiçbiri artmadı.

Meyve sularıyla kurabiyeleri 12 poşete koyup masalara dağıttınız. Her poşette 2 meyve suyu ve 3 kurabiye vardı. Masada hiçbir şey artmadı.

Bunu deneyerek değil, katlara ve bölenlere bakarak buldunuz. Paketler için ortak katlara, poşetler için ortak bölenlere baktınız.

Umut da artık neden hep pazartesi sorumlu olduğunu biliyordu: sınıf 25 kişiydi ve 25 ile 5 aralarında asal değildi.

Saatte, mikserde ve el matkabında iki dişli çark birbirine geçerek döner. Bir çarkın her dişi, öbür çarkın bir dişine değer.

Diş sayılarının 1'den başka ortak böleni varsa, her diş öbür çarkın hep aynı birkaç dişiyle buluşur. Aşınma bütün dişlere eşit yayılmaz.

Bu yüzden mühendisler bazen diş sayılarını aralarında asal seçer. Bir dişli ders notundaki örnekte büyük çarkın 136, küçük çarkın 17 dişi var. Ortak bölenleri 1 ve 17'dir.

Bu örnekte büyük çark 136 yerine 135 dişli yapılır. Artık ortak bölen yalnız 1'dir ve her diş, öbür çarkın bütün dişleriyle sırayla buluşur. Sınıf listesindeki 24 ile 5 de böyleydi.

Ortak katlar ve ortak bölenler, buluşmayı ve artmadan paylaşmayı denemeden bulmanı sağlar.

Evde de deneyebilirsin. Yüksek sesle 1, 2, 3 diye say. Bir elinle 3'ün katlarında, öbür elinle 4'ün katlarında masaya vur. İki elin ilk kez hangi sayıda birlikte vurur?