Merkezi Eğilim: Ortalama, Ortanca, Tepe Değer

Dokuz oyuncuyla başlamak zor. Önce Deniz'in kendi takımına bakalım. Geçen haftaki okul maçında beş oyuncu sayı attı: Ege 8, Deniz 2, Ada 5, Can 1, Umut 4.

Aşağıda her oyuncunun sayısı bloklarla çizili. Sütunlar hiç eşit değil.

Herkes attığı sayıları bir araya koyup eşit paylaşsa, her oyuncuya kaç sayı düşerdi? Aşağıda dene: Yüksek bir sütuna dokun, sonra alçak bir sütuna dokun. Bir blok alçak sütuna geçer. Bütün sütunlar eşit olana kadar sürdür.

Sütunların altındaki "Bloklar toplamı" yazısına da bak. Blok taşırken değişiyor mu?

Az önce herkese 4 düştü. Herkes eşit olsaydı düşecek bu sayıya ortalama denir. Tam adı aritmetik ortalamadır.

Blokları tek tek taşımak yerine şöyle bulursun: Bütün sayıları topla, sonra kaç veri varsa o sayıya böl. Deniz'in takımı toplam 8 + 2 + 5 + 1 + 4 = 20 sayı attı. Takımda beş oyuncu var. Bu yüzden 20 ÷ 5 = 4.

Şimdi 1962'deki kâğıda dönelim. Toplam 169 sayı atıldı. Aşağıdaki kâğıda bak: Üç oyuncunun yanında 0 yazıyor.

Deniz kuzenine "Oyuncular ortalama 19'a yakın sayı attı." diyebilir. Kulağa iyi geliyor. Kuzen de takımdaki oyuncuların çoğunu 19 civarında düşünür.

Önce bir tahmin et. Sonra sayarak kontrol edeceksin.

19 atan oyuncu yok ve oyuncuların çoğu 19'un altında. O zaman başka bir sayı arayalım. Oyuncuları ortadan ikiye ayıran sayı işe yarar mı?

Aşağıdaki kâğıdın tam ortasında Larese var, 9 sayıyla. Ama Larese ortaya adı yüzünden düştü, attığı sayı yüzünden değil.

Bu yüzden önce sıraya dizmen gerekir.

Aşağıdaki kartlara sırayla dokun. En küçük sayıdan başla. Aynı sayıdan iki ya da üç tane varsa hepsini tek tek dizersin. Sıra bitince tam ortadaki karta dokun.

Veriyi küçükten büyüğe dizince tam ortada kalan değere ortanca denir.

Şimdi iki değerimiz var. Ortalama 19'a yakın, ortanca 11. Aynı kâğıttan iki farklı değer çıktı.

Bir deney yapalım. 100 yazan kartı kaldırıyoruz. Geriye sekiz kart kalıyor.

Chamberlain'in kartına dokun: 100 kalkar. Kartların altındaki satırlara bak. Tahminin tuttu mu? Karta bir daha dokununca 100 geri gelir.

Sonra 100'ü geri koy ve Attles'ın 17 yazan kartını kaldır. Ortalama ne yaptı, ortanca ne yaptı?

Sıralı satıra bak. Sekiz kart kalınca ortada kalan iki sayı hangileri?

100'ü kaldırınca ortalama 19'a yakından 9'a yakına düştü. Ortanca yalnız 11'den 10'a indi.

Ortalama bütün sayıları toplar. Bu yüzden 100'ün hepsi hesaba girer. Ortanca ise yalnız sıraya bakar. 100 yerine 1.000 yazsaydık ortanca yine 11 olurdu, çünkü o kart yine en sondadır.

Sekiz kartta ortada bir kart olmaz, iki kart olur: 9 ve 11. Ortanca bu ikisinin tam ortasıdır: 10.

Çok büyük ya da çok küçük bir değere uç değer deriz. Uç değer ortalamayı çok, ortancayı az etkiler.

Bir sayı daha deneyelim: En çok tekrar eden sayı. Bunu nokta grafiğiyle görebilirsin. 100'ü bu çizgiye koymuyoruz, çizgi çok uzardı.

Kalan sekiz sayıyı sen koy. Her sayı, çizgide kendi yerine bir nokta olur.

Çizgi telefonda ekrana sığmaz, yana kaydırarak hepsini gör. Hepsini koyunca en yüksek nokta yığınını bul.

Veride en çok tekrar eden değere tepe değer denir. Bazen iki değer aynı sayıda tekrar eder, ikisi de tepe değerdir. Bütün değerler birer kez geçiyorsa öne çıkan bir değer yoktur.

Bu kez Deniz'in takımından iki oyuncuya bakalım. Dört maçta attıkları sayılar:

Ege: 10, 10, 10, 10

Ada: 0, 20, 5, 15

Topla ve 4'e böl: İkisinin de ortalaması 10. Ama ikisinin maçları aynı geçmemiş. Ada'nın en iyi maçı ile en kötü maçı arasındaki farkı bul.

Ada ile Ege'de bulduğun farka açıklık denir: en büyük değer ile en küçük değerin farkı. Sayıların ne kadar yayıldığını söyler. 1962'deki kâğıtta açıklık 100 − 0 = 100.

Aynı kâğıttan dört değer çıktı: ortalama 19'a yakın, ortanca 11, tepe değer 0, açıklık 100.

Hiçbiri yanlış değil. Her biri başka bir soruya cevap veriyor. Önce neyi öğrenmek istediğini söylersen hangisine bakacağını bulursun.

Şimdi dene. Takıma yeni bir oyuncu geliyor. "Bu takımda oyuncuların ortasında yer almak için kaç sayı atmalıyım?" diye soruyor.

Deniz öğrendiğini kendi takımında denemek istedi. Forma numaralarını yazdı: 4, 7, 10, 23, 5. Topladı, 49 etti.

5'e böldü. "Takımımızın ortalama forma numarası 10'a yakın!" dedi.

Hesap doğru. Peki bu değer bir şey anlatıyor mu?

Sayı olmayan cevaplar da var. "En sevdiğin spor ne?" sorusunun cevaplarını toplayamazsın, sıraya da dizemezsin. Ama en çok söyleneni bulursun. O da tepe değerdir.

Ertesi akşam kuzeni yine aradı: "Sayıyı buldun mu? Yalnız bir tane."

Deniz artık "19'a yakın" dese ne olacağını biliyor. Dokuz oyuncunun sekizi o değerin altında kaldı. En sık görülen sonuç 0'dı. Takım 169 attı, bunun 100'ünü bir oyuncu attı.

Deniz güldü: "Ortalama dediğin bazen kimsenin olmadığı bir yerdir. Önce sayıların hepsine bakmak gerekiyor." Kuzen, "İyi de bana ne diyeceksin?" dedi. Deniz, "Bir sayı yetmiyor, iki sayı söyleyeceğim." dedi. Kuzen, "Tamam, en çok iki." dedi.

Aşağıdaki kâğıda son bir kez bak. Hangi cümleyi söylerse kuzeni takımı en iyi anlar? Her cümle bir şeyi dışarıda bırakır.

Ortalama ile ortancanın böyle ayrılması çok daha büyük bir veride de görülür. 2023'te yayımlanan bir araştırma, YouTube'dan rastgele 10.016 video seçti. Veriler 2022'nin sonundan. Araştırmacılar bu videoların izlenme sayılarına baktı.

Ortalama izlenme 5.868 çıktı. Ortanca izlenme ise yalnız 35'ti. Yani videoların yarısı en çok 35 kez izlenmişti.

Ortalama neden ortancadan bu kadar büyük? Maç kâğıdını hatırla ve aşağıdaki ipuçlarına bakmadan önce kendin düşün.

Bunu bilirsen, biri "ortalama şu" dediğinde o sayının neyi göstermediğini sorabilirsin. Bir sayıya bakıp kanmazsın.

Evde dene: Bir hafta boyunca her gün bir şeyi say. Kaç sayfa okudun, kaç bardak su içtin. Haftanın sonunda ortalamayı, ortancayı ve tepe değeri bul. Haftanı en doğru anlatan hangisi?